Transformace souřadnic

Program GROMA má zabudovánu jednu univerzální transformaci souřadnic, kterou používají všechny výpočetní úlohy, které transformaci potřebují.

Identické body

V závislosti na typu transformace jsou potřeba minimálně dva nebo tři tzv. identické body.

Identické body jsou body, jejichž souřadnice jsou známy v obou soustavách, a mohou tedy být použity pro výpočet transformačního klíče. Použitá transformace je lineární, v obecném případě tedy obě soustavy ztotožní pouze v jednom bodě, a to v těžišti identických bodů. Pro všechny ostatní body, z nichž byl určen transformační klíč, platí, že jejich souřadnice transformované z jedné soustavy do druhé se obecně nerovnají souřadnicím daným v druhé soustavě (pouze splňují podmínku minimálního součtu čtverců oprav).

Transformační klíč

Transformační klíč lze i se seznamem identických bodů uložit do souboru a později opět načíst do programu. Většina výpočetních funkcí, které používají transformaci, umožňuje zobrazit výsledné transformační parametry.

Mezi transformační parametry paří:

  • Transformační klíč:

    • posun ve směru osy X,

    • posun ve směru osy Y,

    • rotace soustavy,

    • jeden nebo dva měřítkové koeficienty,

  • Identický bod:

    Souřadnice bodu, v němž jsou obě soustavy ztotožněny (tj. těžiště bodů, z nichž byl určen transformační klíč).

Transformační parametry jsou určeny na základě metody nejmenších čtverců za podmínky minimalizace součtu čtverců souřadnicových oprav na identických bodech.

Většina úloh, kde je použita transformace souřadnic, obsahuje tlačítko (Klíč), po jehož stisknutí je zobrazeno okénko s transformačními parametry. Toto okénko obsahuje tlačítka (Uložit klíč) a (Načíst klíč), která slouží k zapsání definovaného transformačního klíče do souboru a k jeho opětovnému načtení. Soubory s transformačním klíčem jsou mezi sebou kompatibilní, lze tedy např. v transformaci souřadnic načíst a použít klíč, který byl definován při ortogonální metodě (a naopak).

Shodnostní transformace

Shodnostní transformace je lineární transformace souřadnic, která zachovává rozměr (měřítkový koeficient je roven jedné). Transformace má tedy tři parametry (dvě translace a rotaci), pro určení transformačního klíče jsou třeba alespoň dva identické body.

Podobnostní transformace

Podobnostní transformace je lineární transformace souřadnic, která používá jeden měřítkový koeficient pro směr osy X i Y. Transformace má tedy čtyři parametry (dvě translace, rotaci a měřítkový koeficient), pro určení transformačního klíče jsou třeba alespoň dva identické body.

Afinní transformace - 5 stupňů volnosti

Afinní transformace má, na rozdíl od transformace podobnostní, dvě různá měřítka pro směry os X a Y. Počet transformačních parametrů je pět (dvě translace, rotace a dva měřítkové koeficienty), minimální počet identických bodů tedy vzroste na tři.

Afinní transformace - 6 stupňů volnosti

U tohoto typu transformace nejsou určovány geometrické transformační parametry, ale přímo prvky transformační matice. Transformačních parametrů je tedy šest (dvě translace a čtyři prvky transformační matice). Prvky transformační matice v tomto případě již nejsou navzájem vázány geometrickými vazbami, nelze z nich tedy určit geometrické transformační parametry. Minimální počet identických bodů pro tento typ transformace je tři.

Uživatelská transformace

Zvolíte-li tento typ transformace, není třeba zadávat identické body, zadávají se přímo transformační rovnice pro výpočet souřadnic bodů.